Статистический анализ результатов измерений

Мы уже говорили, что при многократном повторении опытов большинство результатов измерений оказывается в интервале от х– х до х+ х. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Нам поможет ступенчатый график, называемый гистограммой (рис. 1). Разделим ось х на маленькие интервалы длиной δх каждый, а по вертикальной оси будем откладывать число опытов. Над каждым интервалом нарисуем ступеньку на высоте, равной числу опытов, результаты которых попали в этот интервал. Над часто повторяющимися значениями ступеньки будут повыше, над редко повторяющимися — пониже. Если общее число опытов невелико (например, несколько десятков), то ступеньки, гистограммы могут выглядеть беспорядочно (см. рис. 1, а).

При увеличении числа опытов можно уменьшить длину каждого интервала δх (см. рис. 1, б), и во многих случаях будет заметно, что результаты измерений группируются в основном вблизи некоторого среднего значения х₀. Опыты, результаты которых сильно отличаются от x₀, бывают редко.

При очень большом числе опытов (скажем, нескольких тысячах) ступеньки гистограммы можно сделать очень узкими, и они сольются в плавную кривую. Такую кривую называют функцией распределения. Понятно, что в разных опытах кривые будут получаться разными, но удивительный и очень важный факт состоит в том, что в очень многих случаях (когда в измерениях сказываются случайные погрешности, вызванные многими неизвестными причинами) функцию распределения удается описать одним и тем же математическим выражением. Такое распределение называют гауссовым или нормальным. Функция Гаусса записывается так:

.

Она играет очень большую роль в обработке результатов измерений и заслуживает того, чтобы мы ее рассмотрели подробно.

Иррациональное число е=2,718281828... часто встречается во многих разделах математики. Функция f(х) имеет максимум при х=х₀, т. к. e ⁰=1, и уменьшается при отклонении х от x₀ в любую сторону. Величина параметра показывает, на сколько нужно отклониться от х ₀, чтобы f(х) уменьшилась в заданное число раз. Например, при
х–x₀=±σ показатель степени равен –0,5; это значит: функция f(x) уменьшается в ≅1.65 раза при отклонении от среднего значения x₀ на величину +σ или – σ. Если
х–x₀=±2σ, то показатель степени равен –2 и функция f(х) уменьшается в ≅7.4 раза при отклонении от среднего значения x₀ на +2 σ или 2 σ. При х– x₀=±3σ показатель степени равен –4.5 и f(х) уменьшается ≅ в 90 раз. Видно, что σ — ширина функции Гаусса, эту величину называют также стандартным отклонением. Вспомнив, как мы пришли к функции Гаусса, поймем, что распределение с малым σ изображается узкой кривой (рис. 2, а) и соответствует результа-

там измерения с небольшим разбросом данных (высокой точностью). Наоборот, при большом а кривая становится широкой (см. рис. 2, б), это соответствует большой погрешности измерений.

Из рисунков понятно, что довольно большая доля опытов дает результаты вблизи среднего значения х=x₀. Для гауссовой функции можно сделать тонкий расчет (табл.).

Таким образом, больше 2/3 всех опытов дают результаты в промежутке от х– σ до х+σ(рис. 3, а). В промежуток от х– 2σ до х+2 σ попадают результаты более 95% всех опытов (см. рис. 3, б). Теперь можно дать количественное описание величины х в формуле (1). Если условиться, что «большинство .результатов» означает 2/3, то х=σ. Довольно часто исследователи именно так приводят свои данные. Предположив, что «большинство результатов» = 95%, нужно считать, что х=2σ. Ясно, что грамотный экспериментатор должен точно указать, как именно он вычислял погрешность х..

Промежуток		Доля опытов, дающая результат в этом промежутке, %
от	до
х–0.5·σ	х+0.5·σ	38.3
х–1.0·σ	х+1.0·σ	68.3
х–2.0·σ	х+2.0·σ	95.5
х–3.0·σ	х+3.0·σ	99.7

Можно точнее определить, что значит «различаются ли две величины?». Если мы сравниваем величину х), измеренную со стандартным отклонением σ₁, и величину Ха со стандартным отклонением σ₂, то абсолютную величину разности |х ₁ – x₂| нужно сравнить с суммой стандартных отклонений σ₁+σ₂. Если |х ₁ – x₂, то примерно в 1/3 опытов (точнее, 100%  – 68.3%=31.7%) результаты измерений х ₁ и х ₂ могут совпадать. Обычно такие величины считают неразличимыми. Наоборот, при |х1  – x₂|≥2(σ₁+σ₂₎ совпадение возможно менее чем в 5% случаев, такое различие принято считать значимым.

Выводы. Функция Гаусса (нормальное распределение) – описывает распределение результатов измерений, погрешность которых обусловлена многими случайными причинами. Ширина функции Гаусса (стандартное отклонение) мала, если мала погрешность измерений. Для сравнения двух величин нужно знать их стандартные отклонения. Если разность величин не превосходит суммы стандартных отклонений, то величины неразличимы.