Как обращаться с величинами, погрешности которых известны

Прежде всего не нужно обманывать себя, изображая величины точнее, чем мы их знаем. Например, если известно, что каждый день в город приезжают и уезжают из него около 100 человек, то не следует говорить, что население города составляет 43587 человек. В этом числе мы не знаем точно ни единицы, ни даже десятки. Цифры 7 и 8 не значащие, результат нужно округлить до сотен, записав (43600 ± 100) человек или (43,6 ± 0,1) тыс. чел.

Погрешности обычно округляют до одной значащей цифры. Последняя значащая цифра в любом приводимом результате обычно должна быть того же порядка (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность. Однако в расчетах, пока мы еще не получили окончательный результат, имеет смысл оставлять на одну значащую цифру больше. Это уменьшает неточности, возникающие при округлении чисел.

Сравнивая между собой величины с погрешностями, нужно помнить об этих погрешностях. Например, мы знаем, что 2.5>2.4. Но если известно, что размер одной клетки водоросли (2,5 ± 0 ,1) мкм, а другой клетки (2.4 ± 0.1) мкм, то мы не можем сказать, что первая клетка крупнее второй: разность размеров такая же, как погрешность. Чтобы различить эти клетки по размерам, нужно уменьшить погрешности хотя бы в два раза. Понятно, что погрешности нужно учитывать при вычислениях с величинами, полученными в опытах. Погрешность каждой величины сказывается на погрешности результата вычислений.

Рассмотрим сложение двух величин х± х и y± y. Самое большое значение их суммы равно х+ х+y+ y, а самое маленькое: х– х+y– y. Иначе говоря, при сложении двух величин их погрешности тоже складываются:

(х+y)= х+ y. (2)

При вычитании ( x± x)—(у± у) самое большое значение разности получается, когда из х+ х вычитают у— у, а самое маленькое значение разности будет при х— х и у+ у. Сравнивая эти величины, видим, что при вычитании погрешности складываются:

(х—у)= х+ у. (3)

С первого взгляда могло показаться, что при вычитании будет происходить вычитание погрешностей, но такое предположение приводит к нелепым выводам: если Ах==Ду, то при вычитании погрешностей результат получился бы с нулевой погрешностью, то есть абсолютно точным, а этого не может быть. Итак, при сложении и вычитании величин их погрешности складываются.

А как быть при умножении и делении? Погрешность Дх измерена в тех же единицах, что и сама величина х. Например, если у — путь, то у измеряется в метрах; если х — время, то х измеряется в секундах. Складывать такие погрешности, как складывали раньше (2), (3), нельзя, поскольку неизвестно, в каких единицах получится результат. Делить х на у тоже нежелательно. Оказывается, нужно складывать относительные погрешности.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ . (4)

Понятно, что относительная погрешность измеряется в процентах, она всегда больше нуля. Чтобы знать, о какой погрешности идет речь, величину х называют абсолютной погрешностью.

Рассмотрим произведение двух величин (х± х)·(у± у) и воспользуемся понятием относительной погрешности. Если х>0 и у>0, то наибольшее значение их произведения

.

Последнее слагаемое в скобках мало, если каждая из относительных погрешностей невелика Например если х/х-5% и у/у=2%, то ( х/х)·( у/у) -0,1%! Почти всегда таким членом можно пренебречь, следовательно, наибольшее произведение равно

.

Точно так же наименьшее значение произведения получается равным

.

Короче говоря,

(5)

или

. (6)

При умножении двух величин складываются их относительные погрешности. Это справедливо не только для положительных х и у, поэтому в (5) и (6) стоит абсолютная величина произведения (справедливость выражений (5) и (6) для сомножителей разных знаков можно легко проверить, это — полезное самостоятельное упражнение).

Очень похожие рассуждения приводят к выводу о том, что при делении двух величин их относительные погрешности тоже складываются:

(7)

. (8)

Рассмотрим пример вычислений. Тело проходит путь (10 ±1) м за время (10 ±1) с. Вопрос в том, как вычислить погрешность этой величины. Если бы мы попытались делить 1 м на 0.01 с, то получили бы 100 м/с, и в ответе ( 10±100) м/с, что совсем непохоже на правду, поскольку каждая из исходных величин измерена небольшой погрешностью. Найдем относительные погрешности: 1 м/10 м – 0,1=10%; 0.01 с/1 с=0.01=1%. Учитывая формулу (8), сложим относительные погрешности: 10%+1%=11%. Такова относительная погрешность скорости. Абсолютная погрешность скорости: 10 м/с ·11 % = 1,1 м/с. В результате скорость равна (10 ±1.1) м/с. Учитывая правило округления, пишем (10 ±1) м/с.

Знание того, как складываются погрешности, помогает правильно организовывать опыты, чтобы получить более точный результат. Так, в рассмотренном примере погрешность определения скорости 11% складывается из погрешности определения пути 10% и погрешности времени 1%. Если мы вдвое улучшим точность измерения времени, то получим общую погрешность 10.5%; но если в два раза уменьшить погрешность измерения пути, то погрешность скорости уменьшится до 5%+1% = 6%.В данном случае наибольший вклад в общую погрешность дают измерения пути, и именно их нужно улучшать для уменьшения погрешности результата. Уменьшение погрешности измерения времени практически не повлияет на погрешность результата.

Выводы. Все результаты измерений нужно приводить с их погрешностями. Знание погрешностей необходимо для сравнения результатов разных опытов. При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности. При умножении и делении складываются относительные погрешности. Правило сложения погрешностей помогает организовывать опыты.